連立方程式の整数解を求める方法：2x+5y=21 と (2x+3)²+(y-5)²=1

連立方程式を解く問題では、変数xとyに関する式を使って解を求めます。特に整数解を求める場合、場合分けや代入法を用いて解くのが一般的です。この記事では、次の連立方程式の整数解を求める方法を解説します。

与えられた連立方程式

以下の連立方程式を解く問題です。

まずは、1つ目の式を使ってxとyの関係を整理し、2つ目の式に代入していきます。

最初の式は「2x + 5y = 21」です。ここからxを求めるために、yを使ってxを表現します。

2x = 21 - 5y

これをxについて解くと。

x = (21 - 5y) / 2

これでxがyに依存する式として表されました。次に、この式を2つ目の式に代入します。

次に、(2x + 3)² + (y – 5)² = 1の式に、x = (21 – 5y) / 2 を代入します。代入すると。

((2 * (21 - 5y) / 2) + 3)² + (y - 5)² = 1

式を簡略化すると。

((21 - 5y) + 3)² + (y - 5)² = 1

さらに簡単にすると。

(24 - 5y)² + (y - 5)² = 1

この式を展開して整理することで、yに関する2次方程式が得られます。

この方程式を解くために、yの整数値を代入していくと、y = 4の時に整数解が得られます。この場合。

y = 4

これを最初の式に代入してxの値を求めます。

2x + 5(4) = 21

これを解くと。

2x + 20 = 21 → 2x = 1 → x = 1/2

この結果から、y = 4の場合にxの値は整数ではないことがわかります。

したがって、この連立方程式には整数解が存在しないことがわかります。仮に整数解が求められた場合は、その解が適用可能かどうか再確認することが重要です。

与えられた連立方程式には整数解が存在しません。この問題を解く過程で、代入法と場合分けを使って解を整理しましたが、結果的に整数解は得られませんでした。このような問題を解く際は、解の存在を確認しながら進めることが大切です。