ルンゲ-クッタ法を使用して微分方程式 y'+y+xy²=0 の解を求める方法と解析解との比較

微分方程式 y’ + y + xy² = 0 と初期条件 y(0) = 1 に対して、ルンゲ-クッタ法を使って x=0.1 における近似解を求め、その解を解析解と比較する方法について説明します。

微分方程式と初期条件の確認

与えられた微分方程式は、y’ + y + xy² = 0 です。初期条件として y(0) = 1 が与えられています。この問題では、ルンゲ-クッタ法を使用して、x=0.1 における解を求めます。

ルンゲ-クッタ法は、常微分方程式の数値解法の一つで、特に高精度な近似解を求めるために用いられます。ここでは、4次のルンゲ-クッタ法を使用します。この方法では、次のステップで解を反復的に求めます。

ステップごとの計算式は次の通りです。

k₁ = h * f(xₙ, yₙ), k₂ = h * f(xₙ + h/2, yₙ + k₁/2), k₃ = h * f(xₙ + h/2, yₙ + k₂/2), k₄ = h * f(xₙ + h, yₙ + k₃)

yₙ₊₁ = yₙ + (1/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

ここでは、h = 0.1 を選び、ルンゲ-クッタ法を用いて x=0.1 における解を求めます。具体的な計算を通して、yₙ₊₁ を求めていきます。

まず、初期条件 y(0) = 1 を用いて、次のステップに進みます。計算を繰り返すことで、x=0.1 における y の近似値が得られます。

解析解を求めることで、ルンゲ-クッタ法で得られた近似解と比較することができます。解析的に求めた解は、y(x) = e^(-x/(x+1)) となります。この解を x=0.1 に代入し、得られた値とルンゲ-クッタ法の結果を比較してみましょう。

ルンゲ-クッタ法を用いることで、微分方程式の解を数値的に求めることができ、さらに解析解との比較によって、その精度を確認することができます。今回のように、定数項や係数が変化する場合でも、高精度で近似解を求めることが可能です。