Σ[k=1→∞]{(-1)^(k-1)}/k=log2の証明方法

数学の問題であるΣ[k=1→∞]{(-1)^(k-1)}/k = log2を示す問題について、詳細に解説します。この問題では、交互級数の和が自然対数の定数log2に収束することを証明する方法を学びます。

問題の理解

与えられた問題は、無限級数Σ[k=1→∞]{(-1)^(k-1)}/k = log2を示すことです。この級数は、交互級数の一例です。交互級数は、項が交互に符号が変わる級数であり、特にこの場合、分子の{(-1)^(k-1)}がその役割を果たしています。

問題の式は、自然対数log2を求めるものです。まず、この級数が収束することを示し、次にその収束値がlog2であることを証明します。

交互級数Σ[k=1→∞]{(-1)^(k-1)}/kは、交互級数収束定理を使用して収束することが確認できます。この定理によれば、絶対値が単調減少する項を持つ交互級数は収束します。具体的に言うと、この級数の各項1/kは、kが増えるにつれて単調に小さくなり、0に収束します。

次に、この交互級数の和がlog2であることを示します。実際、この級数は自然対数のテイラー展開から導かれるものであり、具体的には、log(1+x)のテイラー展開を用いると次のように表すことができます。

log(1+x) = Σ[k=1→∞]((-1)^(k-1) * x^k) / k (|x|<1)

ここで、x = 1を代入すると、log(2) = Σ[k=1→∞]((-1)^(k-1) * 1^k) / k となり、与えられた級数と一致します。これにより、この級数の和がlog2に等しいことが証明されます。

この問題では、交互級数Σ[k=1→∞]{(-1)^(k-1)}/kがlog2に収束することを証明しました。交互級数の収束定理を利用し、テイラー展開を使ってその収束値がlog2であることを示すことができました。数学的な収束の性質を理解することで、他の同様の問題にも応用できます。