二次方程式 x² + ax + 18 = 0 の解の大きさの関係から a の値を求める方法

与えられた二次方程式 x² + ax + 18 = 0 の解について、一方の解が他方の解の2倍であるという条件を使って、a の値を求める問題です。この記事では、この問題を解くためのステップと方法を解説します。

問題の設定

問題となる二次方程式は次の通りです。

ここで、解の一方がもう一方の2倍であるという条件が与えられています。この情報を基にして、a の値を求めます。

二次方程式 ax² + bx + c = 0 の解は、解の公式を使って求めることができます。この式の解は次のように求められます。

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

しかし、この問題では解の関係を使うため、解の公式を直接使う必要はありません。代わりに、解の和と積に注目します。

二次方程式の解の和と積は次のように求められます。

解の一方がもう一方の2倍であるという条件を使うと、解を α と β とすると、次の式が成り立ちます。

β = 2α

これを解の和と積の式に代入していきます。

解の和に関しては。

α + β = -a

β = 2α なので。

α + 2α = -a → 3α = -a → α = -a/3

また、解の積に関しては。

α × β = 18

β = 2α なので。

α × 2α = 18 → 2α² = 18 → α² = 9 → α = ±3

したがって、α = 3 または α = -3 です。これを a の式に代入すると。

a = -3α

α = 3 の場合、a = -9。α = -3 の場合、a = 9。

したがって、a の値は 9 または -9 のどちらかになります。この結果をもとに、与えられた条件に一致する解を得ることができました。

この問題では、解の関係を使って二次方程式の解を求め、解の和と積を利用して a の値を求めました。解の一方が他方の2倍であるという条件から、a の値は 9 または -9 となります。