56の倍数で正の約数が15個の自然数nの求め方

この問題では、56の倍数で、正の約数が15個である自然数nを求める問題です。まずは問題文を理解し、順を追って解説していきます。

56の倍数の性質

56という数字は、素因数分解すると、56 = 2^3 * 7 です。このため、nは56の倍数である必要があるので、nは2^3 * 7を含む整数である必要があります。つまり、nは形としてはn = 2^a * 7^b * その他の素因数、という形になります。

約数の個数の求め方

自然数nの約数の個数は、nの素因数分解の指数を利用して求めます。n = p1^e1 * p2^e2 * … * pk^ek という形において、約数の個数は (e1 + 1)(e2 + 1)…(ek + 1) で求められます。つまり、n = 2^a * 7^b * その他の素因数 であれば、nの約数の個数は (a + 1)(b + 1)(その他の素因数の指数+1) となります。

問題を解く手順

この問題では、nの約数の個数が15個であることがわかっています。したがって、(a + 1)(b + 1)(その他の素因数の指数 + 1) = 15 という式が成り立ちます。まず、56 = 2^3 * 7 なので、a >= 3 かつ b >= 1 であることがわかります。

解法

まず、n = 2^a * 7^b の形を考えたとき、(a + 1)(b + 1) = 15 を満たす a と b の組み合わせを探します。例えば、a + 1 = 5, b + 1 = 3 という組み合わせだと、a = 4, b = 2 になります。この場合、n = 2^4 * 7^2 = 16 * 49 = 784 となります。

まとめ

56の倍数で、正の約数が15個である自然数nは、784です。このように、約数の個数を利用して問題を解く際は、まず素因数分解をして、条件に合うように式を立てることが重要です。