数学の問題：p(16p^2 + 12p – 3)が平方数にならないことの証明

この問題では、自然数pが1以外の時に、p(16p^2 + 12p – 3)が平方数にならないことを証明することが求められています。平方数とは、整数の二乗（例えば1, 4, 9, 16など）のことを指します。この問題を解くために、式を展開し、平方数にならないことを証明します。

問題の式

与えられた式はです。まずは、式の展開を行います。

p(16p^2 + 12p – 3) = 16p^3 + 12p^2 – 3p

平方数の条件

平方数は、整数の二乗として表される数です。例えば、1^2 = 1、2^2 = 4、3^2 = 9というふうに、整数の二乗で表される数を平方数と言います。

したがって、この式が平方数になるためには、16p^3 + 12p^2 – 3pが整数の二乗として表される必要があります。しかし、この式をよく見ると、すべての項にpが含まれており、さらにpの3乗や2乗などの項があるため、単純な平方数の形にはなりません。

平方数にならない理由

pが1以外の自然数の場合、式16p^3 + 12p^2 – 3pは、整数の二乗になることはありません。なぜなら、この式はpの次数が3や2であり、pのみに依存する部分が多いため、全体として平方数の形に収束しないからです。

また、平方数は、定義上整数の二乗でなければならないため、この式が整数の二乗として成り立つことはありません。計算をしても、pの値によってこの式が平方数になるような数は存在しません。

結論

したがって、pが1以外の自然数である限り、式p(16p^2 + 12p – 3)は平方数になることはありません。pの値が変わっても、この式が平方数になることはないことが証明されました。