y = x² + 6x + 3 の最大値と最小値の求め方

数学の問題でよく出てくる二次関数の最大値と最小値の求め方について解説します。今回の問題は、関数 y = x² + 6x + 3 の最大値と最小値を求めるものです。範囲は -1 ≦ x ≦ 1 と指定されています。この問題では、まず関数を理解し、次にその最大値と最小値を計算する方法を見ていきましょう。

1. 二次関数の形式と頂点の位置

与えられた式 y = x² + 6x + 3 は二次関数の一般的な形です。二次関数は x の二乗項が含まれるため、放物線を描きます。放物線の頂点の位置が重要で、最大値と最小値はこの頂点の位置によって決まります。

式 y = x² + 6x + 3 の場合、頂点の x 座標は -b / 2a で求めることができます。ここで、a = 1、b = 6 なので、頂点の x 座標は -6 / (2 * 1) = -3 になります。この値は、最大値または最小値が x = -3 であることを意味します。

2. 頂点の位置と最大・最小値の判断

y = x² + 6x + 3 の場合、a = 1 なので放物線は上に開いています。このため、x = -3 の位置は最小値を取る点です。しかし、今回の問題では、x の範囲が -1 ≦ x ≦ 1 に制限されていますので、この範囲内での最大値と最小値を求める必要があります。

3. 範囲 [-1, 1] での値を計算

次に、x = -1 と x = 1 の場合の y の値を求めます。

• x = -1 のとき、y = (-1)² + 6(-1) + 3 = 1 – 6 + 3 = -2
• x = 1 のとき、y = (1)² + 6(1) + 3 = 1 + 6 + 3 = 10

これらの計算から、x = -1 では y = -2、x = 1 では y = 10 という結果が得られます。

4. 結論：最大値と最小値

範囲 [-1, 1] 内での最大値は y = 10（x = 1 のとき）、最小値は y = -2（x = -1 のとき）です。このように、指定された範囲内で最大値と最小値を計算することで、問題を解くことができました。

5. まとめ

y = x² + 6x + 3 の最大値と最小値を求めるためには、関数の頂点の位置を理解し、その後、指定された範囲での値を計算することが重要です。最終的に、範囲 [-1, 1] 内で最大値は y = 10、最小値は y = -2 であることが分かりました。