数学のニュースタンダードシリーズの数II範囲では、導関数の応用から積分までを学ぶことができます。このセクションでは、数IIで重要となる問題をいくつか取り上げ、その解法を解説していきます。特に導関数の応用と積分の関係に注目し、問題を解くポイントを押さえましょう。
導関数の応用：最大・最小の問題
導関数の応用の一つに、関数の最大値や最小値を求める問題があります。例えば、以下の関数の最大値と最小値を求める問題を考えてみましょう。
f(x) = x³ – 6x² + 9x + 2
この問題では、まず導関数を求めて、そのゼロ点を求める必要があります。導関数は次のように求められます。
f'(x) = 3x² – 12x + 9
次に、この導関数がゼロとなるxの値を求めます。
3x² – 12x + 9 = 0
この2次方程式を解くと、x = 1とx = 3が解として得られます。これらのxの値で元の関数の最大値・最小値を確認します。
積分の基本と応用：面積の計算
積分を用いた面積の計算は、数IIの重要なテーマの一つです。例えば、次の関数のグラフとx軸で囲まれた部分の面積を求める問題を考えます。
f(x) = x² – 4x + 3
この関数のグラフとx軸で囲まれた部分の面積を求めるためには、まず関数がx軸と交わる点を求めます。
x² – 4x + 3 = 0
この2次方程式を解くと、x = 1とx = 3が解として得られます。次に、この区間[1, 3]で積分を行います。積分計算は次のようになります。
∫(x² – 4x + 3)dx (from 1 to 3)
積分を行うと、面積は4平方単位と求めることができます。
積分と導関数の関係：微積分の基礎
積分と導関数は微積分の基本的な概念であり、互いに密接に関連しています。積分は関数の累積的な変化を求める方法であり、導関数は関数の瞬間的な変化を示します。積分と導関数が逆の操作であることを理解することが重要です。
例えば、積分と導関数がどのように逆操作であるかを示す問題を考えます。
F(x) = ∫(3x² – 4x + 2)dx
F(x)の導関数を求めると、元の関数である3x² – 4x + 2に戻ります。これは積分と導関数が逆操作であることを示しています。
まとめ
数IIの範囲で重要な導関数の応用と積分について、いくつかの問題を解説しました。導関数を使って最大値・最小値を求めたり、積分を使って面積を求めることができるようになることが、微積分を理解するための鍵となります。これらの基本的な知識をしっかりと押さえることで、さらに高度な問題にも対応できるようになります。
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