数学の式の変形や同値性について理解することは、数学の学習において非常に重要です。特に、複雑に見える式がどのようにして一致するのかを確認することは、数学の問題を解くうえで役立ちます。この記事では、√2log(√2+1)と√2/2(log(√2+1))−(√2/2log(√2−1))が一致する理由について、具体的な計算過程を通じて解説します。
式の初期状態と目標
まず、与えられた式を見てみましょう。式は以下のように与えられています。
√2log(√2+1)と√2/2(log(√2+1))−(√2/2log(√2−1))が一致するかどうかを確認する問題です。これらの式が一致するかどうかを検証するためには、代数的な変形を行っていく必要があります。
式の変形過程
まず、右辺の式√2/2(log(√2+1))−(√2/2log(√2−1))を見てみましょう。この式の共通部分として、分母に√2/2が含まれています。これを因数として取り出すと、以下のように変形できます。
√2/2 × (log(√2+1) − log(√2−1))となります。ここで、ログの差の性質を利用すると、次のように変形できます。
log(√2+1) − log(√2−1) = log((√2+1)/(√2−1))です。これを使って式を再度書き直すと、次のように表すことができます。
√2/2 × log((√2+1)/(√2−1))となります。
分数式の簡略化
次に、この式の中で注目すべきポイントは、分数の部分です。(√2+1)/(√2−1)の部分がどうなるかを考えてみましょう。
分子と分母を共に√2で乗算すると、分数は次のように変形します。
(√2+1)/(√2−1) = (2+√2)/(2−√2)となります。
さらに、この分数式を簡単にするために、分母と分子を共に2−√2で有理化します。すると、最終的に分数部分が以下のように変形されます。
log((2+√2)/(2−√2)) = log(√2+1)とわかります。
両辺の一致を確認
ここまでの変形を通じて、右辺の式は最終的に以下のように変形されました。
√2/2 × log(√2+1)となります。これにより、最初の式である√2log(√2+1)と一致することが確認できました。
まとめ
このように、与えられた式が一致する理由は、代数的な変形とログの性質を適切に利用することによって証明されます。具体的には、分数の有理化やログの性質を使って式を変形し、最終的に両辺が一致することを確認しました。このような変形技法を駆使することで、複雑に見える式の同値性を理解することができます。
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