高校数学の同値変形：平方完成と2乗の取り扱いについて

高校数学の問題では、同値変形を行うことがよくありますが、特に2乗を使う場合、その取り扱いに注意が必要です。今回は、「2乗しても良いのか？」という質問に対して、どのように理解し、どのように解くべきかを解説します。

同値変形と2乗の使用について

同値変形とは、式を変形して別の形にすることですが、元の式と同じ解を持つことが大前提です。特に2乗を使う場合、その操作が有効かどうかは式の条件によります。

問題では、P(X,Y)の軌跡を求めるために次の2つの式が与えられています。

模範解答では、これらの式を2乗してXとYの関係式を導き出しています。この時、式の両辺を2乗して良いのか疑問に思う方もいるかもしれません。

式を2乗する場合、特に注意すべき点は「両辺が正であること」です。例えば、X + aY = √13の場合、両辺が必ず正でないと2乗しても解が間違ってしまうことがあります。

また、絶対値や平方根を含む場合、その範囲をきちんと確認することが大切です。式の2乗をする前に、値が正または負であるかを検証しておく必要があります。

問題の式において、両辺を2乗する前にまず解の存在を確認することが重要です。その後、計算が進めばXとYの関係式が明確になり、最終的に解を得ることができます。

問題を解く際には、2乗などの操作を行う前に式が正であるかどうかを確認することが大切です。また、同値変形を行う際には、解の範囲や条件をよく理解しておく必要があります。2乗の操作を含む問題では、正しい手順を踏むことで解答が得られることを覚えておきましょう。