大学数学: 局面z＝x^2log（x＋2y）の偏微分の解説

大学数学の問題でよく見られる偏微分の演習問題に取り組みます。今回は、関数z＝x^2log(x＋2y)を偏微分する方法を、具体的なステップで解説します。

問題の式と偏微分とは

まず、与えられた関数z＝x^2log(x＋2y)を理解しましょう。この関数は2変数（x, y）に依存しており、それぞれについて偏微分を行う必要があります。偏微分とは、1つの変数を固定して、他の変数に関する微分を求める方法です。

1. xに関して偏微分を行います。関数z＝x^2log(x＋2y)にはxとyの2つの変数があります。まずは、xについて偏微分を求めます。

2. yに関して偏微分を行います。次に、yについて偏微分を行います。ここでもxは定数として扱います。

z＝x^2log(x＋2y)をxに関して微分するためには、積の微分法則を使います。積の微分法則では、f(x)g(x)の微分は、f'(x)g(x) + f(x)g'(x)と表されます。

ここで、f(x) = x^2、g(x) = log(x + 2y)です。微分すると、以下のようになります。

∂z/∂x = 2x * log(x + 2y) + x^2 * (1/(x + 2y))

次に、yに関して偏微分を行います。yに関して微分する際は、xは定数とみなして、以下の式を使います。

∂z/∂y = x^2 * (1/(x + 2y)) * 2

このようにして、xとyについての偏微分を求めることができます。

関数z＝x^2log(x＋2y)の偏微分を行うためには、まず積の微分法則を適用し、xに関する偏微分とyに関する偏微分を別々に計算しました。xに関しては、積の微分法則と連鎖律を使い、yに関しては直接微分を行いました。このような偏微分の技法は、多変数の解析において基本的かつ重要な方法です。