数学の問題でよく出てくる二次関数。特に最大値や最小値を求める問題は基本的なスキルです。この記事では、関数 y = -2x² + 8x + 1（0 ≦ x ≦ a）について、最大値を求める方法を解説します。学校の先生が教えてくれた「場合分け」の手法を用いて解法を示しますので、理解しやすくなっています。
二次関数の基本と最大値を求める方法
まず、与えられた関数 y = -2x² + 8x + 1 のグラフについて簡単に説明します。これは下に凸の放物線を描く関数で、a = -2 という負の定数を持っているため、最大値はxの範囲内で求めることができます。
最大値を求めるには、通常、xの値に対する関数の変化を調べ、どの点で最大になるかを確認します。
場合分けの方法で最大値を求める
この問題では、0 ≦ x ≦ a という条件のもとで最大値を求めます。最初に、x = 0 と x = a の2つの範囲を考える「場合分け」を行います。
最初に、x = 0のときの関数の値を求めます。y = -2(0)² + 8(0) + 1 = 1 です。
次に、x = aのときの関数の値を求めますが、ここではaの値を求める必要があります。aは正の定数であり、最大値が求められる範囲です。したがって、aの値を使ってyの値を計算します。
最大値を求めるための計算例
最大値を求めるためには、x = aのときの関数の値とx = 0のときの関数の値を比較します。ここで、x = 4のとき、最大値が出ることがわかります。関数の値はy = -2(4)² + 8(4) + 1 = 1 となり、この点で最大値を得ることができます。
そのため、xの範囲内で最大値はx = 4の時に発生するという結論になります。
まとめとポイント
この記事では、二次関数 y = -2x² + 8x + 1 における最大値を求める方法を解説しました。場合分けの手法を使って、x = 0 と x = 4 の関数の値を比較し、最大値が得られる点を導きました。この問題を解くことで、二次関数の最大値を求める基本的な手法を身につけることができます。
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