x = 2^t + 2^(-t) の値は2以上か？相加相乗平均を用いた解法

数学の問題で「x = 2^t + 2^(-t)」が与えられたとき、この式の値が常に2以上であるかどうかを判断するには、相加相乗平均を用いる方法が有効です。この問題では、相加相乗平均がどう関わっているのかを理解することが大切です。

相加相乗平均とその重要性

相加相乗平均（AM-GM不等式）を使うことで、2つの数の和と積に関する関係を明らかにできます。AM-GM不等式によると、2つの正の数の相加平均は相乗平均以上であることが知られています。

問題の式に相加相乗平均を適用すると、2つの数「2^t」と「2^(-t)」の相加平均は、これらの数の積の平方根以上であることが分かります。具体的には、次のように評価できます。

相加平均： (2^t + 2^(-t)) / 2

相乗平均： √(2^t × 2^(-t)) = √(1) = 1

したがって、x = 2^t + 2^(-t) は常に 2 以上となることがわかります。この式の最小値は、t = 0 のときに達成され、x = 2 です。

x = 2^t + 2^(-t) は、相加相乗平均を用いることで、常に2以上の値を取ることが確認できました。この問題では、相加相乗平均の適用により、式の値が最小値2に達することが分かります。