x-y平面における2つの曲線の共有点を求める条件

この問題では、x-y平面上における2つの曲線、C1:y=x^2+aとC2:x=y^2+aが2つの共有点をもつためのaの条件を求めます。まずは、曲線の方程式を理解し、共有点を求める方法について解説します。

問題の設定

与えられた2つの曲線は次のように定義されています：
C1: y = x^2 + a
C2: x = y^2 + a
ここで、C1とC2が交点を持つためには、両方の曲線のyとxの値が一致する必要があります。

まず、C1とC2の方程式を連立させて解く方法を考えます。C1からyをxの関数として表現した後、C2の式に代入してxの値を求めることができます。以下の手順を追って解いていきましょう。

1. C1の方程式からy = x^2 + aと表せるので、C2の式x = y^2 + aにこの式を代入します。
2. x = (x^2 + a)^2 + aの形に変換されるので、この方程式を解きます。

x = (x^2 + a)^2 + aという方程式を展開して解くと、xに関する2次方程式が得られます。二次方程式の解の判別式を使って、解の個数が2つである条件を導きます。

二次方程式の判別式が0以上であるとき、解が実数解を持つことが確認できます。この結果から、aの範囲が求まります。具体的には、-3/4 <= a < 1/4の範囲で解が2つとなり、これがC1とC2の曲線がちょうど2つの共有点を持つ条件となります。

この問題では、x-y平面上における2つの曲線が共有点を持つ条件を求めるために、方程式を連立させ、判別式を使って解の個数を調べました。最終的に、aの範囲は-3/4 <= a < 1/4であることがわかりました。