2次関数 y＝x²-2ax+1 の最小値と最大値を求める方法

数学の問題において、2次関数 y＝x²-2ax+1 (0≦x≦1) の最小値と最大値を求める方法について解説します。問題のポイントは、区間内での関数の最小値と最大値を求めることです。

1. 関数の最小値を求める方法

まず、与えられた関数 y＝x²-2ax+1 の最小値を求めます。最小値を求めるためには、微分を使用します。関数 y の1次導関数を求め、x の値を求めます。

y’ = 2x – 2a と求められます。この1次導関数を0にしてxの値を求めると、x = a となります。次に、このxの値が区間(0≦x≦1)内に含まれているかを確認します。

もしaが0≦a≦1の範囲にあるなら、x = aは区間内に含まれます。したがって、このx = a におけるyの値が最小値です。

最小値は、y(a) = a² – 2a² + 1 = 1 – a² となります。

次に、関数の最大値を求めます。区間の端点を調べます。x = 0 と x = 1 の2点を調べて、それぞれのyの値を求めます。

y(0) = 0² – 2a(0) + 1 = 1、y(1) = 1² – 2a(1) + 1 = 2 – 2aです。

したがって、最大値はx = 0の場合に1、x = 1の場合に2-2aとなります。x = 1 の場合、aが0の場合に最大値が2になります。

最小値はy(a) = 1 – a²で、最大値は区間の端点x = 1で2-2aです。aの値によって、最小値と最大値が異なることが分かります。特に、a = 0の場合、最大値は2で、最小値は1になります。