この問題は、多項式P(x)をx-1およびx+2で割った余りがそれぞれ与えられたとき、(x-1)(x+2)で割った余りを求めるという問題です。最初に与えられた情報を使って、どのようにしてP(x)の余りを求めるか、ステップバイステップで解説します。
問題の整理
まず、問題の条件を整理します。多項式P(x)をx-1、x+2で割った余りがそれぞれ5と-4であるとき、P(x)を(x-1)(x+2)で割った余りを求める必要があります。
ここで、x-1とx+2で割った余りがそれぞれ与えられているため、P(x)は次の形に表すことができます。
P(x) = (x-1)(x+2)Q(x) + R(x)
ここで、R(x)は(x-1)(x+2)で割った余りです。R(x)の次数は1であるため、R(x)は次のように一般的な形を取ります。
R(x) = Ax + B
余りを求めるための条件
次に、x-1とx+2で割った余りがそれぞれ5と-4であるという情報を使います。
- P(1) = 5 となるため、x = 1を代入して式を求めます。
- P(-2) = -4 となるため、x = -2を代入して式を求めます。
この2つの条件を使って、AとBの値を求めることができます。
計算の流れ
まず、P(1) = 5 を代入します。
R(1) = A(1) + B = 5 → A + B = 5
次に、P(-2) = -4 を代入します。
R(-2) = A(-2) + B = -4 → -2A + B = -4
この2つの連立方程式を解くことで、AとBを求めます。
- A + B = 5
- -2A + B = -4
これらを解くと、A = 3、B = 2となります。
最終的な余りの求め方
したがって、P(x)を(x-1)(x+2)で割った余りは次のように求められます。
R(x) = 3x + 2
これが、P(x)を(x-1)(x+2)で割った余りです。
まとめ: 余りの求め方
多項式P(x)を(x-1)(x+2)で割った余りを求めるためには、まずP(x)の一般的な形を設定し、与えられた条件からAとBを求めることが重要です。最終的に余りを求める方法を理解すれば、類似の問題も簡単に解けるようになります。
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