高校数学の最小値・最大値の求め方と場合分けについて

高校1年生の数学において、関数の最小値や最大値を求める問題はよく登場しますが、場合分けをする理由や、なぜ2つや3つのケースに分かれるのかについて疑問を持つことはよくあります。この記事では、その理由や解き方について詳しく解説します。

最小値・最大値を求める際の基本的な考え方

関数の最小値や最大値を求めるには、まずその関数がどのように振る舞うかを理解する必要があります。特に、定義域内での極値（最小値や最大値）を求めるには、微分を用いることが多いです。ですが、場合分けが必要になるのは、関数の形状や定義域に制約がある場合です。

場合分けをする理由

場合分けをする理由は、関数が異なる振る舞いをする区間があるからです。例えば、定義域の中で関数が増加する区間と減少する区間がある場合、最大値や最小値はそれぞれの区間で異なる振る舞いをすることになります。したがって、区間ごとに別々に最大値や最小値を求める必要があります。

2つの場合と3つの場合の違い

問題によっては、2つのケース（例えば増加と減少）だけでなく、3つのケースに分けて考えることがあります。例えば、関数が増加する区間、減少する区間、そして一定の値を取る区間がある場合などです。こうした場合、各区間ごとに最大値・最小値を計算し、それらを比較することで、全体の最小値・最大値が求まります。

最大値・最小値の解き方は変わるか？

最大値と最小値の求め方には基本的に大きな違いはありませんが、最大値の場合は関数の値が一番大きくなる点を見つけ、最小値の場合はその逆に一番小さくなる点を見つけることになります。したがって、どちらを求めるかによって、目的とする点が変わるというだけです。

まとめ

関数の最小値や最大値を求める際に場合分けが必要になる理由は、関数の挙動が異なる区間に分かれているからです。問題によっては2つの場合、3つの場合に分けることがあり、それぞれの区間で最大値・最小値を求めて比較することで、全体の最大値や最小値を導き出すことができます。解き方は基本的に変わりませんが、最大値・最小値に対するアプローチの違いを理解しておくことが重要です。