曲線 y = x^4 – 2x^2 + a がx軸と接する条件とy軸対称性の確認方法

高校数学IIIの問題で、曲線y = x^4 – 2x^2 + aがx軸と異なる2点で接しているとき、その曲線がy軸対称であることを確認する方法について解説します。具体的な条件を確認し、どのようにしてy軸対称性がわかるのかを考察します。

y軸対称性とは

まず、y軸対称性について簡単に復習しましょう。y軸対称性とは、関数のグラフがy軸を中心に左右対称であることを意味します。つまり、f(x)とf(-x)が同じ値を持つ場合、その関数はy軸対称と言えます。

この場合、y = x^4 – 2x^2 + aがy軸対称かどうかを確認するには、xを- xに変えたとき、元の関数と同じ形になるかを確認します。

関数がy軸対称かどうかの確認方法

y = x^4 – 2x^2 + aにおいて、xを- xに変えてみましょう。

f(-x) = (-x)^4 – 2(-x)^2 + a = x^4 – 2x^2 + a

この結果から、f(x) = f(-x)が成り立つことがわかります。つまり、この関数はy軸対称であることが確認できます。

曲線がx軸と異なる2点で接する条件

次に、曲線がx軸と異なる2点で接する条件について考えます。曲線がx軸と接するためには、y = 0のとき、接点での微分係数が0である必要があります。すなわち、y = 0のときにy’ = 0が成り立つ必要があります。

y = x^4 – 2x^2 + aの微分を求めます。

y’ = 4x^3 – 4x

次に、y = 0のとき、つまりx軸との接点でy’ = 0になるようなxの値を求めます。

0 = 4x^3 – 4x

これを解くと、x = 0 または x = ±1 となります。したがって、x軸と接する点はx = ±1の2点です。

y軸対称性の確認方法と接点

y軸対称性が確認できるとともに、この関数がx軸と異なる2点で接していることもわかります。接点はx = ±1であり、この点で曲線がx軸に接することが確認できました。

まとめ

y = x^4 – 2x^2 + aという関数は、xを- xに変えても変化しないため、y軸対称であることがわかります。また、関数がx軸と異なる2点で接する条件を確認すると、x = ±1で接していることがわかりました。このように、関数の対称性と接点を確認することで、問題を解くための重要な情報を得ることができます。