三角関数の合成：sinθ+cosθの合成結果と書き方の違いについて

三角関数の合成について、-sinθ + cosθ を合成したときに得られる結果が√2sin(θ + 3/4π)と√2sin(π/4 – θ)の2つの形になることがあります。これらは同じ値を示しますが、どちらがより適切な表記かについて説明します。

三角関数の合成とは？

三角関数の合成とは、複数の三角関数を1つの三角関数にまとめる手法です。例えば、-sinθ + cosθのような形を1つの三角関数の形に変換することで、積分や微分を行いやすくするなどの利点があります。

合成に使う方法の一つは、三角関数の加法定理を用いる方法です。これを使うと、異なる三角関数の和を1つの三角関数として表現することができます。

-sinθ + cosθ の合成を行うと、次のように進めます。まず、合成する三角関数の係数を見て、適切な角度と振幅を求めます。

具体的には、-sinθ + cosθ は、以下のようにして合成できます。

この合成により、-sinθ + cosθ は、√2sin(θ + 3/4π)または√2sin(π/4 – θ) の形で表すことができます。

得られた2つの表現、√2sin(θ + 3/4π)と√2sin(π/4 – θ)は実際には同じ値を持ちます。これは、三角関数の性質により、sin(θ + 3/4π)とsin(π/4 – θ)が互いに同じ値を与えるからです。

しかし、この2つの表現にはわずかな違いがあります。例えば、√2sin(θ + 3/4π)の方が、角度が増加する方向を示しており、最初に加算する角度が大きくなります。一方、√2sin(π/4 – θ)は、θが大きくなるにつれて減少していく挙動を示します。

どちらの表記も数値的には正解ですが、使用する文脈や状況によって適切な表記が変わることがあります。一般的に、三角関数の合成では、角度の加算方向を示す方が標準的な表記となることが多いです。そのため、√2sin(θ + 3/4π)がより一般的に使用されることが多いです。

ただし、問題によっては両者が同じ値を示すため、どちらでも構いません。選択する際には、どちらがより直感的であるか、または文脈に適した形式であるかを考慮すると良いでしょう。

三角関数の合成において、-sinθ + cosθのような式を合成する際、得られる結果が2つの異なる表現になることがあります。どちらの表現も同じ値を示しますが、使う場面や文脈によって選択する表現が変わることがあります。一般的には、加算方向で表現する方がより標準的であると考えられます。