数学の対数の問題について疑問がある方へ。今回は、log3(x – 2) + log3(2x – 7) = 2という式で、なぜ右辺が9になるのかを解説します。
対数の加法定理とは
まず、この問題を解くためには、対数の加法定理を理解する必要があります。対数の加法定理は、次のように表されます。
loga(b) + loga(c) = loga(bc)
この定理を使うと、式log3(x – 2) + log3(2x – 7)は、log3((x – 2)(2x – 7))に変形できます。
問題を解く手順
問題の式log3(x – 2) + log3(2x – 7) = 2に対して、加法定理を適用します。すると、次のような式になります。
log3((x – 2)(2x – 7)) = 2
次に、この対数の両辺を3の指数に変換します。対数の定義によれば、log3y = 2は、y = 32に相当します。したがって、
(x – 2)(2x – 7) = 9
方程式を解く
ここで、(x – 2)(2x – 7) = 9を展開します。
(x – 2)(2x – 7) = 2x² – 7x – 4x + 14 = 2x² – 11x + 14
したがって、方程式は次のようになります。
2x² – 11x + 14 = 9
これを整理すると。
2x² – 11x + 5 = 0
解の求め方
この2次方程式を解くために、解の公式を使います。解の公式は、
x = (-b ± √(b² – 4ac)) / 2a
です。この場合、a = 2, b = -11, c = 5なので、解の公式を使ってxを求めます。
まず、判別式b² – 4acを計算します。
(-11)² – 4(2)(5) = 121 – 40 = 81
したがって、xは次のように求められます。
x = (11 ± √81) / 4 = (11 ± 9) / 4
これにより、xの2つの解が得られます。
x = (11 + 9) / 4 = 20 / 4 = 5
x = (11 – 9) / 4 = 2 / 4 = 0.5
まとめ
このように、log3(x – 2) + log3(2x – 7) = 2の問題を解くと、xの解はx = 5とx = 0.5の2つになります。最初に加法定理を使って式を簡単にし、その後、2次方程式を解くことで問題を解決しました。
コメント