今回は、方程式 (X + Y + 2Z)³ – (Y + 2Z – X)³ – (2Z + X – Y)³ – (X + Y – 2Z)³ を計算する方法を解説します。この問題は、式の中での置き換えや展開を工夫し、解くことができます。具体的な計算過程を一つずつ説明しますので、ぜひ参考にしてください。
問題の理解と置き換えの工夫
まず、与えられた式に注目してみましょう。計算を効率的に進めるために、式を変形することが大切です。質問者が行ったように、式をAやBに置き換えて簡単にする方法を考えます。
置き換えとして、Y + 2Z を A、2Z – Y を B とおくことで、式がシンプルになります。これにより、(A + X)³ – (A – X)³ – (X – B)³ – (X + B)³ という新しい形になります。
立式と展開の方法
次に、(A + X)³ – (A – X)³ や (X – B)³ – (X + B)³ をそれぞれ展開して計算します。まずは、(A + X)³ と (A – X)³ を展開してみましょう。
(A + X)³ = A³ + 3A²X + 3AX² + X³、(A – X)³ = A³ – 3A²X + 3AX² – X³
この二つを引くと、X³項がキャンセルされ、残るのは 6A²X + 6AX² になります。
次にBを使って展開する
同じように、(X – B)³ と (X + B)³ を展開して計算します。
(X – B)³ = X³ – 3X²B + 3XB² – B³、(X + B)³ = X³ + 3X²B + 3XB² + B³
これを引くと、X³項がキャンセルされ、残るのは -6X²B + 6XB² になります。
最終的な計算と整理
このようにして展開した式を全て合わせると、次のような形になります。
6A²X + 6AX² – 6X²B + 6XB²
次に、この式を元のAとBの定義に戻して整理します。最終的に得られる式が問題の解答です。
まとめ
この問題では、与えられた複雑な式をうまく置き換えたり展開したりすることで、計算を効率的に進めることができました。置き換えや展開のステップを順を追って整理し、最終的に解を求めることが大切です。計算過程をしっかりと理解しながら進めていくことで、数学の問題を解く力を身につけることができます。
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