1 = 0.9999... は本当に正しいのか？｜数学的解説とその誤解を解く

「1 = 0.9999…」という等式に納得できない方は多いです。特に「無限に続く小数が1に等しい」と聞くと、直感的に理解しづらいかもしれません。この記事では、この問題に関してよくある誤解を解き、なぜ「1 = 0.9999…」が成り立つのかを数学的に説明します。

1. 0.9999…の定義とその意味

「0.9999…」は単なる小数であり、無限に続く「9」の列です。この数は、実際には1に非常に近いですが、厳密には1と等しいことがわかります。無限小数を数学的に扱う方法に基づいて、この等式は成立します。

0.9999…が1と等しい理由は、無限に続く小数が収束するからです。これは「極限」という数学的な概念に関連しています。無限の9が続く数列の極限値は、1に収束します。このため、0.9999…は1と同じ値になります。

質問者が示したように、「1 – 1/∞ = 0.9999…」と考えることがありますが、ここでの「∞」は無限大であり、数学的に厳密に扱うと無限小数とは別のものです。1/∞が0に近いと考えるのは直感的ではありますが、無限に続く数として「0.9999…」は1とみなすことが正しいです。

簡単な証明方法の一つは、0.9999…を「x」とおいて式を立て、両辺を操作する方法です。例えば、x = 0.9999… とおいて、10x = 9.9999… という式を引くと、x = 1 という結果に至ります。この証明方法によって、0.9999…が1であることが数学的に証明されます。

無限小数は直感的に難解ですが、数学的には非常に精緻に定義されています。無限小数は、収束する数列として取り扱われ、限りなく1に近づくため、厳密には1と等しいのです。これにより、0.9999…が1であることが理解できるようになります。

「1 = 0.9999…」という等式は、無限小数と極限の概念を理解すれば納得できます。直感に反するかもしれませんが、数学的には正しい結果です。この知識を深めることで、無限小数や極限の概念をよりしっかり理解できるようになるでしょう。