数学IIの因数定理を使って、方程式x⁴ – 2x² + 3x – 2 = 0を解く方法について解説します。この問題では、因数定理を使って多項式を因数分解し、解を求めていきます。数学が苦手な方にも分かりやすく説明しますので、ぜひ最後まで読んでみてください。
因数定理とは？
因数定理は、ある多項式が特定の値でゼロになるとき、その値を使って多項式を因数分解できるという定理です。つまり、もしf(c) = 0であれば、(x – c)がその多項式の因数となります。
この定理を使って、与えられた多項式を因数分解し、解を求めることができます。
問題の方程式
与えられた方程式は、x⁴ – 2x² + 3x – 2 = 0です。これを因数定理を使って解いていきます。まず、因数定理を使うために、この方程式が簡単な因数に分解できるかを考えます。
最初にx²の項やxの項を含む形に変形して、簡単な因数に分解できるかを探ります。
因数分解のステップ
この方程式を因数分解するために、まずx²の項やxの項を含む形に式を整理します。x⁴ – 2x² + 3x – 2 = 0を整理すると、x²の2次式と、1次式を含んだ式として分解できます。ここでは試行錯誤を通じて、因数定理を使って解を探していきます。
例えば、簡単な整数解を見つけるために、x = 1やx = -1を試してみます。x = 1を代入すると、f(1) = 1⁴ – 2(1)² + 3(1) – 2 = 0 となりますので、x – 1は因数の一つであることがわかります。
解の求め方
x – 1を使って、元の多項式を(x – 1)で割ると、残りの因数がx³ – x² + 2x – 2となります。この新しい方程式もさらに因数分解を進めていきます。
また、x = 2を試してみると、f(2) = 0が成り立ちますので、x – 2がもう一つの因数になります。
最終的な解
最後に、残りの方程式を因数分解していきます。x³ – x² + 2x – 2を更に分解すると、(x – 1)(x – 2)(x² + 2)となります。したがって、元の方程式x⁴ – 2x² + 3x – 2 = 0は、(x – 1)²(x – 2)(x² + 2) = 0となり、解はx = 1（重解）、x = 2、x = ±√2iです。
まとめ
因数定理を利用して、x⁴ – 2x² + 3x – 2 = 0を解く方法を解説しました。因数定理を使って、多項式の解を探し、因数分解を進めることで、問題を解決することができます。最終的に得られる解は、実数解x = 1（重解）、x = 2、複素数解x = ±√2iです。
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