因数分解の問題では、途中の式のくくり方や順番によって、最終的な答えが異なる場合があります。特に、(ab)^2 + 4 – 4a^2 – b^2のような式では、因数分解の過程で異なる方法を使うことで、結果が変わってしまうことがあります。この記事では、問題の式とその解法をステップバイステップで解説し、なぜ①と②で答えが異なるのかを明らかにします。
問題の式の確認
まず、与えられた式「(ab)^2 + 4 – 4a^2 – b^2」を整理します。この式を因数分解するためには、まず項を並べ替えて、どのようにくくるかを考えることが大切です。式を並べ替えると、「a^2 b^2 + 4 – 4a^2 – b^2」となります。
ここから、因数分解を進めるために、適切なくくり方を選ぶことがポイントです。このような式では、まずa^2とb^2をまとめてくくることを考えます。
①の解法: 因数分解のステップ
①の解法では、まず「a^2 b^2 – b^2 – 4a^2 + 4」という式に変換します。この式を見てみましょう。ここでは、a^2 – 1とb^2 – 4をそれぞれくくって、「b^2(a^2 – 1) – 4(a^2 – 1)」という形にします。
その後、共通の因子である(a^2 – 1)を取り出すことで、式は「(b^2 – 4)(a^2 – 1)」となり、最終的に因数分解された形「(b – 2)(b + 2)(a – 1)(a + 1)」にたどり着きます。
②の解法: 異なるアプローチとその影響
②の解法では、式「4 – 4a^2 – b^2 + a^2 b^2」を扱います。この式も、因数分解の過程では同じように分けていくのですが、手順が異なります。「4(1 – a^2) – b^2(1 – a^2)」という形にした後、共通因子(1 – a^2)を取り出すと、式は「(4 – b^2)(1 – a^2)」になります。
ここからさらに、(4 – b^2)を「(2 + b)(2 – b)」、(1 – a^2)を「(1 + a)(1 – a)」に因数分解することで、最終的に「(2 + b)(2 – b)(1 + a)(1 – a)」という結果が得られます。
なぜ答えが異なるのか？
①と②の答えが異なる理由は、因数分解の途中で異なる方法を取ったためです。②では、式の順番を変えたり、因数を分ける方法を変えたりしていますが、①では最初に(a^2 – 1)をくくる方法を選んでいます。このような違いが、最終的な答えに影響を与えるのです。
数学では、式を因数分解する際にどのようにくくるかによって最終的な形が異なる場合がありますが、どちらも正しい因数分解の方法です。答えが異なる理由は、このアプローチの違いによるものです。
まとめ: 因数分解のアプローチの重要性
因数分解を解く際には、途中のステップでどのように式をくくるかが非常に重要です。①と②の解法が異なるのは、アプローチの違いに起因していることがわかります。どちらの方法も正しいのですが、因数分解の過程での考え方や手順を理解することが、問題を解く上で大切です。
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