数学の加法定理と不等式の変形：cos2θ + sinθ > 1 の変形について

この問題は、加法定理を利用して三角関数の不等式を変形する問題です。与えられた不等式「cos2θ + sinθ > 1」をどのように変形していくのか、具体的なステップを解説します。特に、変形の過程で不等号が逆転する理由にも触れ、理解を深めていきます。

1. 問題の整理と目標

まず、問題を整理しましょう。「cos2θ + sinθ > 1」という不等式があります。ここで目標は、この不等式を変形して「sinθ(2sinθ – 1) < 0」という形に持っていくことです。

cos2θは加法定理を使って展開できます。具体的には、cos2θ = 1 – 2sin²θという公式を使います。この公式を元に、不等式を以下のように変形します。

cos2θ + sinθ > 1 → (1 – 2sin²θ) + sinθ > 1

次に、1を両辺から引いて整理します。

(1 – 2sin²θ) + sinθ – 1 > 0 → -2sin²θ + sinθ > 0

次に、この式を整理します。-2sin²θ + sinθ > 0という式は、sinθで因数分解ができます。

sinθ(-2sinθ + 1) > 0

これで不等式が「sinθ(1 – 2sinθ) > 0」となり、最終的に「sinθ(2sinθ – 1) < 0」という形になります。

不等号の向きが変わった理由を理解しましょう。式の変形で因数分解した結果、元の不等式の不等号の向きが反転することがありました。これは不等式の両辺にマイナスの数が掛かることで、符号が逆転したためです。

このように、「cos2θ + sinθ > 1」を変形すると「sinθ(2sinθ – 1) < 0」になることがわかります。数学的な変形を行う際には、加法定理や因数分解を活用して式を整理し、注意深く不等号の向きに注目することが重要です。