解析接続を用いた正則関数の零点と孤立点の証明

この問題では、正則関数の零点が孤立点であることを示すために、解析接続を用いて解説します。具体的には、関数f(z)が領域dで正則であり、z=aがfのm位の零点であるとき、f(z)をどのように表現し、さらに正則関数の零点が孤立点であることをどのように示すかについて掘り下げていきます。

正則関数の零点の表現

関数f(z)が領域dで正則で、z=aがm位の零点である場合、解析接続を使ってf(z)を以下のように表すことができます。

f(z) = (z – a)^m g(z)

ここで、g(z)はdで正則な関数であり、g(a)≠0です。この表現は、z=aにおけるf(z)の挙動を明確に示しており、m位の零点であることが分かります。g(z)は零点でなく、aの近くでも定義されており、正則性を保っています。

解析接続の意味と役割

解析接続とは、ある領域内で定義された関数を、隣接する領域にも延長して定義する方法です。この手法を使うことで、f(z)の零点を表す際に関数g(z)を導出し、関数の正則性を保つことができます。g(z)の特性を使って、関数の挙動をさらに詳しく理解することができます。

正則関数の零点は孤立点であることの証明

次に、正則関数f(z)の零点が孤立点であることを示します。f(z)が正則である場合、その零点z=aは必ず孤立点であることが確定します。理由は、もし他にもz=b（b≠a）で零点があった場合、f(z)はその近くでもゼロである必要があり、g(z)がその点でもゼロにならなければならないことになります。g(z)はその点で正則であり、g(a)≠0が仮定されているため、他の零点は存在しません。このように、正則関数の零点は必ず孤立点となります。

まとめ

正則関数f(z)の零点が孤立点であることを解析接続を用いて示しました。また、f(z)のm位の零点は、f(z) = (z – a)^m g(z)という形で表すことができ、g(z)はaで非ゼロの正則関数です。このように、解析接続を使うことで、関数の性質をより深く理解し、零点の挙動を明確にすることができます。