高校数学の問題で、関数 f(x) = x^2 – 2(a + 1)x + 2a^2 – 2a + 4 と g(x) = (x – 3)(x – a) が与えられ、どのような実数xに対しても「f(x) ≥ 0 または g(x) ≤ 0」が成り立つような a の範囲を求める問題です。この記事では、問題を解くための手順とその解法について解説します。
f(x) の式の展開と解析
まず、関数 f(x) = x^2 – 2(a + 1)x + 2a^2 – 2a + 4 の式を整理しましょう。二次関数の形として解を求めるには、まず展開して簡単にします。
f(x) = x^2 – 2(a + 1)x + 2a^2 – 2a + 4 になりますが、この式の値が 0 より大きいまたは等しい（f(x) ≥ 0）ためには、判別式（b^2 – 4ac）が0またはそれより大きい必要があります。具体的に判別式を計算して、この条件を満たす a の値を求めます。
g(x) の式の展開と解析
次に関数 g(x) = (x – 3)(x – a) を展開し、g(x) が 0 以下（g(x) ≤ 0）となる条件を求めます。まず、g(x) を展開して次の形にします。
g(x) = x^2 – (a + 3)x + 3a
この式が 0 以下となるための条件は、g(x) の解が実数となることと、g(x) の値が負または 0 になる範囲を見つけることです。判別式や解の公式を使って g(x) の解を求め、条件を満たす a の範囲を調べます。
f(x) ≥ 0 または g(x) ≤ 0 が成り立つ a の範囲
問題文の条件「f(x) ≥ 0 または g(x) ≤ 0」が成り立つためには、f(x) と g(x) のそれぞれで得られたaの範囲を結び合わせる必要があります。f(x) の条件を満たす a の範囲と、g(x) の条件を満たす a の範囲を求め、共通部分を見つけます。
それぞれの不等式の条件から得られる a の範囲を計算し、最終的に両方の条件を満たす a の範囲を求めることが解法です。
まとめ
この問題は、二次関数の性質と判別式を利用した解法です。まずは f(x) と g(x) の式を整理して、各関数が指定された不等式を満たす条件を求め、その後にそれらの条件を統合して a の範囲を導き出します。数学的なアプローチを理解することで、このような問題も効率的に解けるようになります。
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