今回は、高校1年生向けの数学の問題について解説します。問題は、二次方程式x² + (a + b)x + b = 0の解が-1と2であるとき、定数aとbの値を求めるというものです。解法を順を追って詳しく説明していきます。
1. 二次方程式の一般形
まず、二次方程式の一般的な形は、ax² + bx + c = 0のように表されます。ここで、a, b, cは定数であり、解の公式を使って解を求めることができます。しかし、この問題ではすでに解が与えられているため、解と係数の関係を使ってaとbを求める方法を使います。
与えられた方程式はx² + (a + b)x + b = 0であり、解が-1と2であることがわかっています。この場合、解と係数の関係を利用する方法を取ります。
2. 解と係数の関係
二次方程式の解と係数の関係は、次のように表されます。
- 解の和 = -b/a
- 解の積 = c/a
この問題では、解の和が-1 + 2 = 1、解の積が(-1) × 2 = -2です。これを元に、方程式の係数に関する式を立てます。
3. 方程式を使ってaとbを求める
解の和と解の積を使って、次のように式を立てます。
- 解の和 = -(a + b) = 1 から、a + b = -1
- 解の積 = b = -2
したがって、b = -2がわかります。次に、a + b = -1にb = -2を代入すると、a – 2 = -1となり、a = 1が求められます。
4. 結果の確認
求めたa = 1、b = -2を元の方程式に代入すると、次のようになります。
x² + (1 + (-2))x + (-2) = x² – x – 2 = 0
この方程式の解は、x = -1とx = 2です。問題の解答と一致しているため、求めたaとbは正しいことが確認できます。
5. まとめ
今回の問題では、与えられた二次方程式の解と係数の関係を使って、定数aとbを求めました。解と係数の関係を理解し、式を立てて解く方法を身につけることで、似たような問題もスムーズに解けるようになります。数学の基本をしっかりと理解し、練習を重ねましょう。
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