N!の末尾に並ぶ0の個数を求める理由：素因数5と2の関係

「N!の末尾に並ぶ0の個数を求める」という問題は、数学的に興味深い問題です。特に「なぜ素因数2の個数ではなく素因数5の個数を考えるのか」という点について解説します。この問題を解く鍵は、10が2と5の積であるという事実です。

1. N!の末尾の0を数える方法

N!（Nの階乗）の末尾に0が何個あるかを求めるには、N!を素因数分解したときに10が何回因数として現れるかを調べます。10は2と5の積なので、N!に含まれる2と5の組み合わせの数を数えれば、末尾の0の数が求められます。

2. 素因数2と5の違い

N!に含まれる2の数は非常に多いです。これは、2が偶数として頻繁に現れるからです。一方、5は2よりも少ないため、10を作るために重要なのは、むしろ5の個数です。したがって、N!の末尾に並ぶ0の個数を決定するのは、素因数5の個数です。

3. 具体的な計算方法

具体的には、N!の中に含まれる5の倍数（5, 25, 125, ・・・）の個数を数えることで、末尾の0の個数が分かります。たとえば、N=100の場合、100!には5が100/5=20個含まれ、さらに25の倍数（25, 50, 75, 100）から5が1回余分に加わるので、末尾に25個の0が並ぶことが分かります。

4. なぜ素因数2ではなく5が重要なのか

2の倍数はあまりにも多いため、10を作るために2の数を数える意味はあまりありません。逆に5の倍数は数が限られているため、5の数を数えることでN!の末尾の0の個数を正確に求めることができるのです。

まとめ

N!の末尾に並ぶ0の個数は、素因数5の個数に依存します。これは、10が2と5の積であるため、2の個数は十分であり、5の個数が重要だからです。したがって、N!の末尾の0の個数を求める問題では、5の倍数を数えることが鍵となります。