このページでは、スキームの射(f,F)とそれに対応する環準同型φについて、単射と全射に関する同値性を証明します。特に、(f,F)の射に対応する環準同型φが単射であることとFが単射であることの同値性、またφが全射であることとfが閉埋め込みかつFが全射であることの同値性について詳しく解説します。
1. 単射とFが単射であることの同値性
まず、φが単射であることとFが単射であることが同値であることを証明します。φが単射であれば、O_XからO_Yへの射Fが単射であることがわかります。これは、スキームの射の構造から導かれます。Fが単射であれば、環準同型φが単射であることを示すことができます。この証明において、スキームの射がどのように構造層の間で影響を与えるかを考慮します。
2. φが全射であることとfが閉埋め込みであることの同値性
次に、φが全射であることと、fが閉埋め込みかつFが全射であることが同値であることを証明します。φが全射であれば、連続写像fは閉埋め込みとなり、構造層間の射Fが全射であることがわかります。これを示すためには、閉埋め込みの定義とその性質を利用し、Fがどのように構造層間で全射であることを証明します。
3. スキームの射(f,F)と環準同型φの関係
スキームの射(f,F)と環準同型φの関係について、具体的な構造層間の射を考え、これらがどのように相互作用しているかを明示します。これにより、環準同型が単射・全射である場合の条件がスキームの射にどのように結びつくかを理解します。
4. 結論
今回の証明により、スキームの射(f,F)に対応する環準同型φが単射・全射であることが、それぞれの条件とどのように結びついているかが明確に理解できました。このような理論的な理解は、スキーム論における射の性質を深く掘り下げるために重要です。
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