陰関数の接線の求め方：x² + 4y² = 1 の接線の方程式

陰関数の接線の求め方は、一般的な関数の接線を求める方法とは少し異なります。この方法を理解するために、具体的な例として「x² + 4y² = 1」という方程式における接線の方程式を求める問題を解説します。

1. 問題の設定

与えられた方程式は「x² + 4y² = 1」という楕円の方程式です。この楕円上の任意の点における接線を求める方法を考えます。さらに、点(3, 6)から引いた接線を求める問題です。

接線の方程式を求めるためには、まず陰関数の微分を使って接線の傾きを求める必要があります。陰関数の場合、yをxの関数として明示的に表すことが難しいことが多いため、暗黙的に微分を行います。

与えられた方程式「x² + 4y² = 1」を微分すると、両辺に対してxとyをそれぞれ微分していきます。まず、x²の微分は2x、次に4y²の微分は8y(dy/dx)となります。したがって、次のような式になります。

2x + 8y(dy/dx) = 0

この式から、dy/dx（接線の傾き）を求めることができます。

上記の式をdy/dxについて解くと、接線の傾きは以下のようになります。

dy/dx = -2x / (8y) = -x / (4y)

この式を使って、具体的な点(3, 6)における接線の傾きを求めます。

点(3, 6)を代入して計算すると、接線の傾きは。

dy/dx = -3 / (4 * 6) = -3 / 24 = -1 / 8

接線の傾きが-1/8であることがわかったので、接線の方程式を点(3, 6)を通る直線として求めます。直線の方程式は、点(3, 6)と傾き-1/8を使って次のように書けます。

y – 6 = (-1/8)(x – 3)

これを展開すると、接線の方程式は。

y = (-1/8)x + 27/8

このようにして、「x² + 4y² = 1」の曲線上の点(3, 6)における接線の方程式は、y = (-1/8)x + 27/8 となります。陰関数の微分を使って接線を求める際の基本的な手順を学ぶことができました。