積分の問題解法：変数変換と関数f(x)の求め方

積分の問題において、変数変換を使うことで解きやすくなることがあります。この記事では、具体的な積分問題を通して変数変換を行い、関数f(x)を求める方法を解説します。問題の中で出てくる式の意味や、uをxに戻すステップについても詳しく説明します。

問題の整理と変数変換

問題で与えられた式は、∫0から2x f(t)dt = xe^(-x) という積分式です。これを解くために、まずは積分の上限を変数uに置き換える方法を考えます。

ここでは、u = 2x と置き、積分の上限がxに依存している部分を解決しようとしています。この変換により、元々の式をより扱いやすい形に変えることができます。

変数変換後、得られる式は f(u) = (2 – u)e^(-x)/4 となります。この式では、uとxが関連付けられており、最終的にuをxに戻す作業が必要です。

具体的にいうと、積分を解くためにuを使った後、最終的には元のxの形に戻すために変数変換を逆に適用します。この操作によって、uがxに戻り、元々の問題を解くための解答が得られます。

最後にu = 2xを元の式に代入することで、積分の結果が得られます。この部分が少し混乱しやすいところですが、実際にはこの代入を行うことで、変数変換後の式をxの関数として整理することができます。

u = 2xを代入すると、最終的な式が整理され、元の問題の形式に戻るわけです。これにより、関数f(x)の最終的な形が求められることになります。

積分問題を解く際、変数変換を適切に行うことで計算が格段に簡単になります。今回の問題では、u = 2x という変換を使い、最終的に元の変数xに戻すことで解を得ました。変数変換とその逆操作を理解し、しっかりと計算することで、数学の問題を解く力を高めることができます。