数列の一般項を求める方法：平方数の和を使った解法

今回は、数列の問題について解説します。与えられた数列の一般項を求める方法を、具体的な手順を追いながら説明します。

問題の内容

問題は次の通りです：
数列が次のように与えられています。

この数列の一般項akを求めなさいという問題です。

まず、与えられた数列がどのような形で成り立っているかを観察します。例えば、a1、a2、a3がそれぞれ1²、1² + 2²、1² + 2² + 3²のように、1からkまでの平方数の和になっていることがわかります。

次に、これを一般項akとして表現します。一般項は、1² + 2² + … + k²という形になります。この和を簡単に表現する公式があります。それは、次のような式です。

Σ(i=1 to k) i² = k(k+1)(2k+1) / 6

これを使うことで、一般項akを次のように表現できます。

ak = Σ(i=1 to k) i² = k(k+1)(2k+1) / 6

この公式を用いることで、与えられた数列の一般項を求めることができます。例えば、k=1の場合はa1が1²となり、k=2の場合はa2が1² + 2²となります。

この問題の解法は、平方数の和を求める公式を使って、数列の一般項akを求めるというものです。公式を覚えておくことで、同じような問題が出題された場合にも、迅速に解けるようになります。

数列の一般項を求めるためには、数列のパターンを見つけ、対応する公式を使うことが重要です。平方数の和を使った問題では、Σ(i=1 to k) i²の公式を活用することで解決できます。