関数の増減と極値を調べる方法：y=-x² の例

関数の増減や極値を調べる際には、まず微分を使って関数の増減を確認し、その後、極値が存在しないことを確かめます。ここでは、y=-x²という関数を例に、どのように増減を調べ、極値が存在しないことを確かめるかを説明します。

1. 微分を用いた増減の確認

y=-x²という関数において、増減を調べるためにはまずその導関数を求めます。yをxで微分すると。

dy/dx = -2x

次に、導関数dy/dx=-2xの符号を調べます。増加している範囲はdy/dx>0、減少している範囲はdy/dx<0で決まります。

-2x>0 ならば、x<0で関数が増加し、-2x<0 ならば、x>0で関数が減少します。

次に、関数に極値が存在するか確認します。極値が存在するためには、導関数dy/dx=0が成り立つxの値が必要です。

dy/dx = -2x = 0 となるxはx=0です。x=0で関数が増減を切り替えますが、これは極値ではなく、単に最大値または最小値の転換点であるため、極値がないことがわかります。

y=-x²の場合、導関数dy/dx=-2xを用いて増減を調べた結果、関数はx<0で増加し、x>0で減少します。x=0では増減が切り替わりますが、この点では極値は存在しません。

よって、y=-x²には極値が存在しないことが確定します。増減を調べる手順として、微分を使って増加・減少の範囲を確認し、極値の有無を確かめることが重要です。