高校数学：整数の剰余問題の解き方と考え方

高校数学の剰余問題では、関数の余りを求めることがよく出題されます。今回は、与えられた式に対して余りを求める問題について、どのようにアプローチすればよいかを詳しく解説します。

1. 問題の概要

問題では、整式P(x)が(x-2)^2で割ると余りが2x+5、x-3で割ると余りが15であることが与えられています。求めるのはP(x)を(x-2)^2(x-3)で割ったときの余りです。

この問題を解くための方法として、P(x)を(x-2)^2(x-3)で割った余りの形を考えます。一般的には、余りは次数が1つ低い多項式であることを利用し、まずP(x)の一般形を設定します。

つまり、P(x) = Q(x)(x-2)^2(x-3) + ax^2 + bx + c と置きます。

次に、この式を使って具体的にP(x)を求めます。まずP(x)を(x-2)^2で割った余りが2x + 5であることから、式を以下のように表せます。

ax^2 + bx + c ≡ 2x + 5 (mod (x-2)^2)

これを利用して、kを求め、最終的にP(x)の余りの多項式を計算します。

次に、kを求める過程を詳細に示します。

ax^2 + bx + c = k(x-2)^2 + 2x + 5
P(3) = k + 6 + 5 = 15 から、k=4が求まります。

この結果を式に代入すると、最終的に4(x-2)^2 + 2x + 5 = 4(x^2-4x+4) + 2x + 5 となり、P(x)の余りは4x^2 – 14x + 21となります。

このように、整数の剰余問題は、与えられた余りの条件をもとに式を立てて計算する方法が有効です。数式の整理と代入を繰り返しながら、必要な情報を求めることができます。問題の解法においては、余りの次数が重要であることを理解しておくと、他の問題にも応用できます。