n²が3の倍数ならばnは3の倍数であることの証明方法

数学において、ある数nが3の倍数であることを証明するためには、n²が3の倍数であるという条件をどのように利用するかが重要です。この記事では、n²が3の倍数であればnも3の倍数であることを証明する方法を分かりやすく解説します。

問題の設定と証明の概要

問題は、n²が3の倍数であれば、nも3の倍数であることを証明することです。この証明は、整数の性質を使って行います。まず、整数の3の倍数の定義を確認しておきましょう。

3の倍数とは、3で割り切れる数、つまりn = 3k（kは整数）の形で表せる数です。n²が3の倍数であれば、nも3の倍数であるということを証明するには、逆にnが3の倍数でない場合を考えて、矛盾を示す方法が有効です。

まず、nが3の倍数でない場合を考えます。もしnが3の倍数でないならば、nは3で割った余りが1か2のいずれかになります。したがって、nは次のいずれかの形を取ります。

ここでkは整数です。次に、これらのnを二乗してみましょう。

n = 3k + 1の場合、n²は次のように計算できます。

n² = (3k + 1)² = 9k² + 6k + 1

この式を3で割った余りを考えると、9k²と6kは3で割り切れるため、n²の余りは1になります。つまり、n²は3で割り切れないため、3の倍数にはなりません。

同様に、n = 3k + 2の場合も計算してみます。

n² = (3k + 2)² = 9k² + 12k + 4

ここでも、9k²と12kは3で割り切れますので、n²の余りは4になります。4を3で割ると余りは1となるため、n²は3で割り切れません。

したがって、nが3の倍数でない場合、n²も3の倍数でないことが分かりました。この矛盾から、最初に仮定した「nが3の倍数でない」という仮定が間違いであることが分かります。よって、nが3の倍数でなければならないという結論に達します。

このように、n²が3の倍数であれば、nも3の倍数であることが証明できました。