この問題では、関数 y = sin²θ + cosθ の最大値と最小値を求める方法について説明します。範囲は 0 ≦ θ ≦ 2π です。まず、y を θ の関数として最小値と最大値を求めるために、微分を使って考えます。
1. 関数の整理
与えられた関数は、y = sin²θ + cosθ です。この関数を微分しやすくするために、まず sin²θ を 1 – cos²θ を使って書き換えます。
y = sin²θ + cosθ = (1 – cos²θ) + cosθ = 1 – cos²θ + cosθ
2. 微分して極値を求める
次に、この式を微分してθの極値を求めます。微分した結果を 0 と置いて、θ の値を求めます。
dy/dθ = -2cosθsinθ – sinθ = -sinθ(2cosθ + 1)
微分した結果が 0 になるのは、sinθ = 0 または (2cosθ + 1) = 0 の場合です。
3. θ の値を求める
sinθ = 0 の場合、θ = 0, π, 2π です。
(2cosθ + 1) = 0 の場合、cosθ = -1/2 となります。これを解くと、θ = 2π/3, 4π/3 です。
4. 各値における y の値を計算
次に、θ = 0, π, 2π, 2π/3, 4π/3 での y の値を計算します。
- θ = 0 のとき、y = 1 – cos²0 + cos0 = 1 – 1 + 1 = 1
- θ = π のとき、y = 1 – cos²π + cosπ = 1 – 1 – 1 = -1
- θ = 2π のとき、y = 1 – cos²2π + cos2π = 1 – 1 + 1 = 1
- θ = 2π/3 のとき、y = 1 – cos²2π/3 + cos2π/3 = 1 – (1/4) – (1/2) = 1/4
- θ = 4π/3 のとき、y = 1 – cos²4π/3 + cos4π/3 = 1 – (1/4) – (1/2) = 1/4
5. 結果の最大値と最小値
各値を計算した結果、最大値は 1、最小値は -1 です。したがって、この関数の最大値は 1、最小値は -1 です。
6. まとめ
このように、微分を使ってθの極値を求め、各θの値で y の値を計算することで、関数の最大値と最小値を求めることができました。関数 y = sin²θ + cosθ の最大値は 1、最小値は -1 です。
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