この問題では、整式P(x)をG(x)で割ったとき、G(x)が因数分解されてG1′(x)とG2′(x)に分かれる場合に、P(x)をG1′(x)とG2′(x)で割ったときの余りが同じである理由について疑問が生じています。この記事では、この問題を解説し、なぜこの性質が成り立つのかを明確にします。
整式P(x)の除算と余りの関係
まず、整式P(x)をG(x)で割ったときの商をQ(x)、余りをR(x)とします。このとき、除算の結果は次のように表されます：
P(x) = G(x)Q(x) + R(x)。ここで、余りR(x)はG(x)の次数よりも低い次数でなければなりません。
G(x)が因数分解され、G(x) = G1′(x)G2′(x)となる場合、P(x)をG1′(x)やG2′(x)で割ったときの余りが同じになる条件を理解することが重要です。
因数分解されたG(x)の影響
G(x)がG1′(x)とG2′(x)に因数分解される場合、P(x)をG1′(x)で割ると、商と余りが次のように表されます：
P(x) = G1′(x)Q1(x) + R1(x)。同様に、P(x)をG2′(x)で割ると、商と余りは次のように表されます：
P(x) = G2′(x)Q2(x) + R2(x)。
このとき、余りR1(x)とR2(x)が同じになる理由は、G1′(x)とG2′(x)が共通の因数であるため、同じ余りが生じるからです。具体的には、P(x)をG(x)で割ったときの余りR(x)が、G1′(x)やG2′(x)で割ったときに生じる余りと一致するという性質があります。
なぜ余りが同じになるのか
P(x)がG(x) = G1′(x)G2′(x)で割られる場合、P(x)の除算において、商Q(x)と余りR(x)は、G1′(x)とG2′(x)に基づいて構成されます。余りが同じになる理由は、P(x)の除算における商と余りが、G1′(x)やG2′(x)における共通の因数に依存しているからです。
この場合、P(x)をG1′(x)で割ったときの余りとG2′(x)で割ったときの余りが一致するのは、G(x)がG1′(x)G2′(x)という形で因数分解でき、共通の因数が余りに影響を与えるためです。
まとめ：因数分解されたG(x)による余りの一致
結論として、P(x)をG(x) = G1′(x)G2′(x)で割ったとき、G1′(x)とG2′(x)で割った場合の余りが同じである理由は、G(x)の因数分解による共通の因数が余りに影響を与え、結果として同じ余りが生じるからです。この性質は、P(x)の除算において商と余りがどのように関係しているかを理解する上で重要なポイントとなります。
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