物理の問題解説：ばねと斜面上の小球の力学的運動

今回の問題では、斜面上に置かれた小球とばねの運動について計算します。具体的には、力積や振動の周期、速さの最大値を求める問題です。以下では、問題ごとの解き方を順を追って説明します。

（1）小球が斜面に静止しているときのばねののびx₀を求める

まず、ばねが静止しているとき、重力による力とばねの力がつりあっています。重力の成分は、斜面の傾きに沿って変化し、ばねの力はフックの法則に従います。力のつりあいの式は以下の通りです。

mg sin(θ) = kx₀

ここで、mは小球の質量、gは重力加速度、θは斜面の傾き、kはばね定数、x₀はばねののびです。これを解いてx₀を求めることができます。

小球がxの位置にあるとき、ばねの力はフックの法則に従い、次のように表せます。

F = -k(x – x₀)

ここで、x₀は静止しているときのばねののび、xは現在の位置です。負の符号は、ばねの力が元の位置に戻ろうとする力であることを示しています。

小球が振動を始めると、ばねによる力と重力が交互に働きます。このような単振動の周期Tは、次の式で表されます。

T = 2π √(m/k)

ここで、mは小球の質量、kはばね定数です。振動の最大速さvは、振動の最大位置での速度です。最大速さvは以下のように求められます。

v = √(k/m) x₀

ここで、x₀は静止状態でのばねののびです。

振動が開始されてから速さが最大となるまでの時間は、周期Tの1/4に相当します。したがって、時間tは次の式で求められます。

t = T/4 = (π/2) √(m/k)

この問題では、ばねと斜面上の小球の運動について、力学的な法則を利用して各種の力や速度を求めました。斜面の傾きやばね定数、質量などが関わる問題で、基本的な物理法則に基づいて解いていくことが重要です。