SIN²θ + COS²θ = 1の公式が成り立つ理由とその理解

「SIN²θ + COS²θ = 1」という公式は、三角関数の基本的な恒等式です。どんな角度θに対しても成り立つこの式が、なぜどんな角度にでも適用できるのか、理解しやすく解説します。

SIN²θ + COS²θ = 1とは

この公式は三角関数の基本的な性質を表しています。SIN²θはsin(θ)を二乗したもので、COS²θはcos(θ)を二乗したものです。この式が成立する背景には、直角三角形や円の性質が深く関わっています。

直角三角形では、θを角度とした場合、三辺の長さが次の関係に従います：
直角三角形の隣接辺の長さ ÷ 斜辺の長さ = cos(θ)、
直角三角形の対辺の長さ ÷ 斜辺の長さ = sin(θ) です。これらの関係を使って、円の座標として三角関数を表すことができます。

三角関数が円と深く関係しているからです。単位円（半径1の円）上の点の座標は、(cos(θ), sin(θ)) で表されます。この点は、円の周りをθだけ回転することによって位置が決まります。

単位円において、直角三角形の隣接辺の長さがcos(θ)、対辺の長さがsin(θ)となります。ピタゴラスの定理により、隣接辺の二乗と対辺の二乗の和は、常に円の半径の二乗と等しくなります。このため、SIN²θ + COS²θ = 1が成立します。

例えば、θ = 45° の場合、sin(45°) ≈ 0.7071、cos(45°) ≈ 0.7071 です。これらを二乗して足し合わせると、0.7071² + 0.7071² = 0.5 + 0.5 = 1 となり、公式が成り立つことがわかります。

この公式は、三角関数を使った問題を解く際に非常に重要です。特に、角度を変換したり、三角関数を結びつけて計算する際に頻繁に登場します。

例えば、cos(θ)を求める際に、sin(θ)を利用することができます。この公式を理解しておくことで、様々な三角関数の問題に応用できるようになります。

SIN²θ + COS²θ = 1の公式は、直角三角形と単位円の関係から導かれる基本的な三角関数の性質です。この公式は、どんな角度θに対しても成り立ち、三角関数の計算を行う上で重要な役割を果たします。公式の理解を深めることで、より高度な三角関数の問題にも対応できるようになります。