2次不等式の解法とその理由

2次不等式の問題で出てきた「解なし」や「すべての実数」という条件の理由について理解することは、数学を学ぶ上で重要なステップです。今回は、X^2+3x+4<0が解なしとなり、X^2-5x+9>0がすべての実数となる理由を解説します。

1. X^2+3x+4

まず、X^2+3x+4<0の不等式を考えます。この不等式の解なしの理由は、二次関数のグラフがx軸より上にあるからです。X^2+3x+4という関数は、2次関数であり、その判別式Δは次のように計算されます。

Δ = b^2 – 4ac = 3^2 – 4×1×4 = 9 – 16 = -7。判別式が負の値を取るため、X^2+3x+4は実数解を持たないことがわかります。このことから、グラフがx軸と交わらないため、X^2+3x+4<0は解なしとなります。

次に、X^2-5x+9>0の不等式を考えます。この不等式がすべての実数に対して成り立つ理由は、二次関数が常にx軸より上にあるためです。判別式Δを計算すると、

Δ = (-5)^2 – 4×1×9 = 25 – 36 = -11。ここでも判別式が負の値となります。負の判別式は、二次関数が実数解を持たないことを意味します。したがって、X^2-5x+9はx軸より上に位置しており、X^2-5x+9>0はすべての実数に対して成り立つことがわかります。

このように、二次不等式を解く際に判別式を使うことは非常に重要です。判別式Δが正の場合、2つの実数解を持ち、Δが0の場合、1つの実数解を持ち、Δが負の場合、実数解を持ちません。これにより、二次関数がx軸と交わるかどうか、また交わる場合の交点の数を把握することができます。

今回の問題では、X^2+3x+4<0が解なしとなり、X^2-5x+9>0がすべての実数となる理由を判別式を使って解説しました。判別式を使うことで、二次関数の解の有無を簡単に判断でき、複雑な不等式の解法に役立ちます。理解を深めることで、今後の数学の問題にも対応できるようになります。