この問題では、(1/500)^200の小数部分の性質と、それに基づいてlog10 5の範囲を求める方法について説明します。具体的な数値と範囲を求める際、対数の性質や指数法則を使用します。この記事では、解説が「1×10^-140 ‹ (1/5)^200 ‹ 2×10^-140」から始まる理由をわかりやすく解説します。
問題の設定と解説の導入
問題では、(1/500)^200の小数第139位まで0で、140位に1が現れるという特性から、log10 5の範囲を求める問題です。このような問題を解くためには、指数関数や対数の基礎的な性質を理解しておくことが重要です。
ここでは、(1/500)^200の数の性質を基に、log10 5を求めるための方法を順を追って説明します。
(1/500)^200の計算と小数部分
まず、(1/500)^200を計算して、その結果がどのように小数になるかを確認します。(1/500)^200は非常に小さな数値ですが、このような数を指数法則を用いて簡単に計算できます。
(1/500)^200 = 1 / (500^200)
500^200の計算は非常に大きな数になりますが、この数の逆数であるため、その結果は非常に小さい値となります。このように、(1/500)^200は0に非常に近いが、ゼロではない値になります。
対数を使った範囲の求め方
次に、log10 5の範囲を求めるために、対数を利用します。log10 5は、10を何回掛け合わせたら5になるかを示す数です。この数値は、約0.69897であることが知られています。
また、問題の解説で示されている「1×10^-140 ‹ (1/5)^200 ‹ 2×10^-140」という不等式は、(1/500)^200の数値が10^-140のオーダーに収束することを示しています。この範囲により、log10 5をどのように計算するかの手がかりを得ることができます。
なぜ「1×10^-140 ‹ (1/5)^200 ‹ 2×10^-140」なのか？
この不等式が成り立つ理由は、(1/500)^200の数が非常に小さく、10^-140のオーダーに収束するためです。このオーダーに基づいて、log10 5の範囲を求めることができるのです。実際、log10 5は約0.69897で、(1/500)^200の値が非常に小さいことを考慮すると、その範囲が10^-140に近いことが確認できます。
まとめ
この問題では、(1/500)^200の小数部分を計算し、その結果を基にlog10 5の範囲を求めました。解説で示された「1×10^-140 ‹ (1/5)^200 ‹ 2×10^-140」の不等式は、非常に小さい数値の範囲を示し、それを基にlog10 5の値を求めることができました。数学の問題を解く際には、対数や指数法則を駆使して小数や大きな数を効率的に扱うことが重要です。
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