平面と直線の距離に関する問題と垂直線の平行性の解説

この問題では、平面αとその平面に平行な直線lについて、PとQという2点からの距離が等しい理由を示す方法を考えます。また、PとQから下ろした垂線PH1とQH2が平行であるかどうかについても説明します。

問題の理解と必要な定義

平面αと、その上にない直線lが与えられています。l上に異なる2点PとQがあり、Pからαへの距離とQからαへの距離が等しいことを示さなければなりません。また、PとQからそれぞれ垂線PH1とQH2を下ろしたとき、これらが平行になるかどうかを確認する必要があります。

距離が等しい理由

まず、PとQから平面αへの距離が等しい理由を考えましょう。これは、PとQが同じ直線lに存在し、直線lと平面αが平行であるためです。直線l上の点PとQは、平面αに対して垂直に同じ距離だけ離れているため、この距離は等しいといえます。

垂線PH1とQH2の平行性

次に、PとQから下ろした垂線PH1とQH2が平行であるかどうかについてです。PとQは直線l上の点であり、lは平面αと平行であるため、PH1とQH2も平面αに垂直に引かれた垂線です。直線lが平面αに平行であるならば、平面上の2つの垂線は平行になるため、PH1とQH2も平行であると結論できます。

まとめ

この問題では、PとQの距離が等しい理由として、平面αと直線lが平行であり、PとQが直線l上で垂直に同じ距離だけ離れていることが挙げられます。また、PとQから下ろした垂線PH1とQH2は、直線lが平面αに平行であるため、平行であると考えられます。このように、直線と平面、または平面内での垂線の関係を理解することが問題を解決するための鍵となります。