y = ax² の最小値を求める方法：aの値を求める問題の解き方

今回は、関数 y = ax² におけるxの変域に対する最小値の求め方と、それを用いてaの値を求める問題を解説します。問題文では、xの変域が異なる2つの区間での最小値の差が20になるという条件をもとに、aの値を求める方法を学びます。

問題の設定

問題は、関数 y = ax² の最小値を求めるもので、xの変域が2つの場合における最小値の差が20であることが与えられています。具体的な条件は次の通りです。

これらの条件を使ってaの値を求めます。

まず、関数 y = ax² における最小値を求めるためには、関数の特性を理解する必要があります。y = ax² のグラフは、aの値によって開き具合が変わりますが、基本的に原点を中心に放物線を描きます。

関数 y = ax² の最小値は、x = 0 で最小になりますが、xの変域が限られている場合、その変域内での最小値を計算する必要があります。最小値を求めるには、変域の両端点を代入してyの値を計算し、最も小さい値を求めます。

まず、xの変域が -1 ≦ x ≦ 3 の場合を考えます。y = ax² の式にx = -1 と x = 3 を代入して、最小値を求めます。

y(-1) = a(-1)² = a

y(3) = a(3)² = 9a

この場合、yの最小値は a と 9a のどちらかになりますが、a > 0 であれば最小値は a となります。

次に、xの変域が -6 ≦ x ≦ 5 の場合を考えます。同じようにx = -6 と x = 5 を代入して計算します。

y(-6) = a(-6)² = 36a

y(5) = a(5)² = 25a

この場合、yの最小値は 25a と 36a のどちらかになりますが、a > 0 であれば最小値は 25a となります。

問題では、最小値の差が20になるとされています。したがって、最小値の差である 9a – a = 8a と 36a – 25a = 11a の差が20になることを考慮します。

11a – 8a = 20

3a = 20

a = 20 / 3

したがって、aの値は 20/3 です。これが与えられた条件を満たすための解となります。この問題では、関数の最小値を計算し、その差を利用してaを求める方法を学びました。最小値を求める際の代入と計算をしっかりと行うことが重要です。