数学の問題で、2次方程式の解法や解の公式の使用法について解説します。因数分解や解の公式を使った解き方、実数解の個数を求める方法や定数の範囲の求め方について学びましょう。
① 2次方程式を因数分解を利用して解く方法
まず、以下の2次方程式を因数分解で解く方法を見ていきましょう。
(1) x² – 3x + 2 = 0
因数分解で解くと、(x – 1)(x – 2) = 0 となり、解は x = 1 または x = 2 です。
(2) x² + 4x – 5 = 0
因数分解で解くと、(x – 1)(x + 5) = 0 となり、解は x = 1 または x = -5 です。
(3) x² – 4x – 5 = 0
因数分解で解くと、(x – 5)(x + 1) = 0 となり、解は x = 5 または x = -1 です。
(4) 4x² + 8x + 3 = 0
因数分解が難しい場合は、解の公式を使用しますが、この問題では解の公式を使うことをお勧めします。
(5) 9x² – 30x + 25 = 0
因数分解で解くと、(3x – 5)(3x – 5) = 0 となり、解は x = 5/3 です。
② 解の公式を使った解き方
次に解の公式を使って解く方法を見ていきましょう。解の公式は、x = (-b ± √(b² – 4ac)) / 2a です。
(1) x² + 5x + 2 = 0
解の公式に代入すると、x = (-5 ± √(25 – 8)) / 2 となり、x = (-5 ± √17) / 2 です。
(2) 3x² – 5x – 1 = 0
解の公式に代入すると、x = (5 ± √(25 + 12)) / 6 となり、x = (5 ± √37) / 6 です。
(3) x² + 14x – 3 = 0
解の公式に代入すると、x = (-14 ± √(196 + 12)) / 2 となり、x = (-14 ± √208) / 2 です。
(4) 4x² – 12x + 9 = 0
解の公式に代入すると、x = (12 ± √(144 – 144)) / 8 となり、x = 3/2 です。
③ 実数解の個数を求める
次に、実数解の個数を求める方法を見ていきます。判別式Δ = b² – 4ac の値によって実数解の個数が決まります。
(1) x² + 5x + 1 = 0
Δ = 5² – 4×1×1 = 25 – 4 = 21 より、実数解は2つです。
(2) 4x² – 4x + 1 = 0
Δ = (-4)² – 4×4×1 = 16 – 16 = 0 より、実数解は1つです。
(3) 3x² – 5x + 3 = 0
Δ = (-5)² – 4×3×3 = 25 – 36 = -11 より、実数解はありません。
(4) 9x² + 12x + 4 = 0
Δ = 12² – 4×9×4 = 144 – 144 = 0 より、実数解は1つです。
(5) 3x² + x – 1 = 0
Δ = 1² – 4×3×(-1) = 1 + 12 = 13 より、実数解は2つです。
(6) -x² + 5x – 7 = 0
Δ = 5² – 4×(-1)×(-7) = 25 – 28 = -3 より、実数解はありません。
④ 定数 m の範囲を求める
次に、与えられた条件に基づいて定数 m の範囲を求める問題です。
(1) 2次方程式 x² + 3x + m = 0 が異なる2つの実数解をもつ
Δ = 3² – 4×1×m = 9 – 4m より、Δ > 0 となるため、m < 9/4 です。
(2) 2次方程式 x² – 4x – m = 0 が実数解をもたない
Δ = (-4)² – 4×1×(-m) = 16 + 4m より、Δ < 0 となるため、m < -4 より、m < -4 です。
(3) 2次方程式 3x² + 6x + 2m – 1 = 0 が実数解をもつ
Δ = 6² – 4×3×(2m – 1) = 36 – 12(2m – 1) より、Δ > 0 となるため、m < 3 より、m < 3 です。
⑤ 重解をもつ条件
次に、重解をもつように定数 m の範囲を求めます。
(1) 3x² – 8x + m = 0
Δ = (-8)² – 4×3×m = 64 – 12m より、Δ = 0 となるため、m = 64/12 より、m = 16/3 です。
(2) 4x² + (m-1)x + 1 = 0
Δ = (m-1)² – 4×4×1 = (m-1)² – 16 より、Δ = 0 となるため、m = 5 です。
(3) mx² – 4m x + 2m + 4 = 0
Δ = (-4m)² – 4×m×(2m+4) = 16m² – 4m(2m+4) より、Δ = 0 となるため、m = 1 です。
まとめ
2次方程式の解法には、因数分解や解の公式を利用した方法、実数解の個数の求め方、そして定数 m の範囲を求める方法があります。これらの方法をしっかり理解することで、2次方程式を効率的に解くことができます。
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