積分の計算方法と解説：1〜0の範囲での微分と積分

今回は、積分の計算問題について解説します。「1〜0の範囲でのインテグラル（積分）」という問題で、なぜその計算結果がそのようになるのかをわかりやすく説明します。この記事では、積分の基本的な考え方や計算手順を簡単に理解できるように説明します。

問題の設定

問題は次のようになります。

インテグラル範囲1〜0において、xの微分・1/2e^(2x) dx = 1/2[1/2e^(2x)]範囲1〜0 = 1/2e² – 1/4（e² – e⁰）となるという問題です。まず、積分の計算式を理解するために、その基本的なステップを見ていきましょう。

積分は、微分の逆の操作であり、関数の面積を求める方法です。特に、定積分では関数の区間ごとの面積を計算することになります。今回の問題もその一つで、積分を用いて関数の面積を求めています。

積分の一般的な式は、次のように書けます。

∫(a〜b) f(x) dx = F(b) – F(a)

ここで、F(x)はf(x)の原始関数であり、aからbまでの範囲で積分を行います。この式を使って、与えられた積分を解いていきます。

問題では、1/2e^(2x)をxの範囲1〜0で積分しています。まず、関数1/2e^(2x)の原始関数を求めます。

1/2e^(2x)の積分を行うには、以下のように計算します。

∫ 1/2e^(2x) dx = 1/4e^(2x)

これが原始関数です。次に、積分範囲1〜0を適用します。

1/4e^(2x) を範囲1〜0で評価すると。

1/4e^(2×1) – 1/4e^(2×0) = 1/4e² – 1/4e⁰

なぜ、積分の結果が「1/2e² – 1/4(e² – e⁰)」となるのかというと、この式は積分の計算過程を示しています。積分範囲の1〜0に対して、関数の原始関数にその範囲の値を代入した結果、上記のような形になるのです。

実際、e⁰ = 1なので、最終的には次のように簡略化できます。

1/4e² – 1/4(1) = 1/4e² – 1/4

このように、積分問題を解くためにはまず原始関数を求め、その後積分範囲を適用して最終的な結果を得ます。今回の問題では、関数1/2e^(2x)の積分を行い、その範囲での面積を求めました。積分の考え方や手順を理解することで、類似の問題にも応用できるようになります。