二次関数の問題において、グラフとx軸の交点や共有点を求める問題があります。特に、x軸との交点を求める方法や、異なる式での交点の個数を求める方法に苦戦する方も多いのではないでしょうか。この記事では、具体的な問題を解きながら、求め方をわかりやすく解説します。
1. 二次関数のグラフとx軸の交点を求める方法
二次関数のグラフとx軸の交点を求めるためには、方程式を解く必要があります。一般的に、y = ax² + bx + c の形の二次関数では、y = 0のときの解を求めます。これを解くために、方程式を解く方法として因数分解や解の公式を用います。
まず、以下の二次関数の例を使って解いてみましょう。
2. 具体例での解法
(1) y = x² – 2x – 6
この式をx軸との交点を求めるためにy = 0に置き換えます。
x² – 2x – 6 = 0
因数分解を行います。
(x – 3)(x + 2) = 0
したがって、x = 3またはx = -2となり、交点の座標は(3, 0)と(-2, 0)です。
(2) y = 3x² – 7x – 1
同様に、y = 0にして、解の公式を使って解くこともできます。
x = [-(-7) ± √((-7)² – 4×3×(-1))] / 2×3
x = [7 ± √(49 + 12)] / 6
x = [7 ± √61] / 6
これにより、交点は二つの実数解を持つことがわかります。
(3) y = -x² + 6x – 9
ここでも解の公式を使って、交点を求めます。
x = [ -6 ± √(6² – 4×(-1)×(-9)) ] / (2×(-1))
x = [ -6 ± √(36 – 36) ] / (-2)
x = [-6 ± 0] / (-2)
x = 3
この場合、交点は(3, 0)となります。
(4) y = -(x + 1)² + 4
この場合、まず式を展開し、x軸との交点を求めます。
-(x² + 2x + 1) + 4 = 0
x² + 2x – 3 = 0
(x + 3)(x – 1) = 0
したがって、交点の座標は(-3, 0)と(1, 0)です。
3. 交点の個数を求める方法
次に、二次関数のグラフとx軸が交わる回数を求める方法です。これを求めるためには、判別式（Δ）を使います。判別式は次の式で求められます。
Δ = b² – 4ac
このΔが0より大きければ交点が2つ、0なら交点が1つ、0より小さければ交点はありません。
⑥ 交点の個数を求める
(1) y = x² – 3x + 1
判別式を計算します。
Δ = (-3)² – 4(1)(1) = 9 – 4 = 5
Δが正なので、交点は2つです。
(2) y = x² + 6x + 9
Δ = 6² – 4(1)(9) = 36 – 36 = 0
Δが0なので、交点は1つです。
(3) y = 3x² + 4x + 2
Δ = 4² – 4(3)(2) = 16 – 24 = -8
Δが負なので、交点はありません。
(4) y = -2x² + x + 1
Δ = 1² – 4(-2)(1) = 1 + 8 = 9
Δが正なので、交点は2つです。
(5) y = -x² + 4x – 9
Δ = 4² – 4(-1)(-9) = 16 – 36 = -20
Δが負なので、交点はありません。
(6) y = -4x² – 12x – 9
Δ = (-12)² – 4(-4)(-9) = 144 – 144 = 0
Δが0なので、交点は1つです。
4. 定数mの範囲を求める
(1) y = x² + 5x + m のグラフがx軸と異なる2点で交わる
判別式Δ = 5² – 4(1)(m) = 25 – 4mが正でなければならないので、25 – 4m > 0となり、m < 6.25です。
(2) y = x² – 4x + m のグラフがx軸と交わらない
判別式Δ = (-4)² – 4(1)(m) = 16 – 4mが負でなければならないので、16 – 4m < 0となり、m > 4です。
(3) y = 2x² + 3x – 2m + 1 のグラフがx軸と交わる
判別式Δ = 3² – 4(2)(-2m + 1) = 9 + 16m – 8が正でなければならないので、m > -1/2です。
5. まとめ
二次関数の問題を解くには、方程式を解く方法を覚え、判別式を用いて交点の個数を求めることが大切です。また、定数mの範囲を求める場合も、判別式を用いて解くことができます。問題を解くことで、二次関数の理解が深まりますので、ぜひ練習してみてください。
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