0≦θ≦πの範囲で-sinθ-√3cosθの最大値を求める方法

0≦θ≦πの範囲で、式「-sinθ – √3cosθ」の最大値を求める問題は、三角関数を最大化するための基本的な方法を理解することが重要です。この問題では、三角関数の合成や極値を求めるテクニックが活用されます。この記事では、この問題を解くためのステップをわかりやすく解説します。

問題の式を整理する

まず、与えられた式「-sinθ – √3cosθ」を簡単に整理します。この式を合成三角関数の形に変換することで、最大値を求める方法が見えてきます。

式「-sinθ – √3cosθ」を合成三角関数の形にするためには、次のように係数を利用して一般的な三角関数の形式に変換します。

-sinθ – √3cosθ = R cos(θ + φ)

ここで、Rとφを求めることが目標です。

合成三角関数に変換するための係数Rとφは、次のように計算します。

R = √(1^2 + (√3)^2) = √(1 + 3) = √4 = 2

次に、角度φを求めます。tanφは次のように求められます。

tanφ = √3

したがって、φ = π/3 となります。

式「-sinθ – √3cosθ」を合成三角関数の形「2cos(θ + π/3)」に変換しました。この式の最大値を求めるためには、cos関数の最大値を利用します。

cos関数は最大値が1、最小値が-1であるため、2cos(θ + π/3)の最大値は2×1 = 2、最小値は2×(-1) = -2です。しかし、この式は元々「-sinθ – √3cosθ」でしたので、最大値は-2になります。

式「-sinθ – √3cosθ」の最大値は-2となります。問題を解くためには、三角関数の合成を利用し、与えられた式をより簡単な形に変換してから、最大値を求める方法が有効です。このように、三角関数を適切に合成することで、より効率的に問題を解くことができます。