玉の輪を作る組み合わせの求め方 | 数学の問題解説

この問題では、異なる色の玉を使って糸で輪を作る際の組み合わせ数を求める方法を解説します。まず、問題の内容を理解しましょう。赤玉が2個、青玉が2個、白玉が2個、黒玉が1個あり、それらを糸で通して輪を作る場合、その組み合わせは何通りになるのでしょうか？

1. 問題の設定と前提条件

問題に与えられた条件は、赤玉、青玉、白玉のいずれも2個ずつ、黒玉が1個です。これらを糸で通して輪を作るため、玉の順番を考慮し、重複を避けながら組み合わせを求めることが求められています。輪を作る場合、回転や反転しても同じ位置の玉とみなすため、回転対称性に注意する必要があります。

まず、並べる玉の数は7個です。しかし、赤玉、青玉、白玉がそれぞれ2個ずつあるため、単純に7個を並べる場合の組み合わせ数は求められません。玉の色ごとに区別する必要があるため、重複を考慮した組み合わせを計算する方法を使います。

組み合わせ数を求めるために、重複順列の公式を使用します。この場合、異なる種類の玉の個数が決まっているので、次の式で組み合わせ数を求めることができます：
組み合わせ数 = 7! / (2! * 2! * 2! * 1!)。
この式を使って計算すると、組み合わせ数は120通りになります。

次に、回転対称性を考慮します。輪に並べる場合、回転しても同じ配置とみなすため、回転による重複を取り除く必要があります。これを解決するために、組み合わせ数を7で割り、最終的に得られる通り数を求めます。

回転対称性を考慮した最終的な組み合わせ数は、120 / 7 = 17通りとなります。このように、異なる種類の玉を使って糸で輪を作る場合、回転を除いた組み合わせ数を計算することができます。