高校数学で登場する2次関数には、よく使われる2つの公式「y = ax² + bx + c」と「y = a(x – b)² + c」があります。これらの公式は、どちらも2次関数を表現しますが、状況によって使い分けが必要です。この記事では、それぞれの公式がどのように使われ、何が異なるのかをわかりやすく解説します。
1. 2次関数の標準形「y = ax² + bx + c」
まず、最も一般的な形である「y = ax² + bx + c」は、2次関数の標準形です。この形式では、a, b, cは定数で、xが変化することによりyも変化します。グラフは放物線となり、aの値によって放物線の開き方（上向きか下向きか）が決まります。
この形式は、与えられた情報から直接yの値を求めるときや、2次関数のグラフを描くときに便利です。また、平方完成を使って、関数の最大値や最小値を求める際に使うこともあります。
2. 頂点形式「y = a(x – b)² + c」
次に「y = a(x – b)² + c」は、2次関数の頂点形式です。この形式では、(x – b)²の部分がグラフの頂点を示しており、bが頂点のx座標、cが頂点のy座標となります。つまり、この形にすると、2次関数の最大値または最小値を簡単に求めることができます。
特に、グラフの頂点を求める場合や、放物線がどのように変化するかを直感的に把握したいときに使うのがこの形式です。また、関数が最小値または最大値を持つ点がわかるので、最適化問題などにも便利です。
3. 使い分けのポイント
これら2つの式は、どちらも2次関数を表現できますが、使い分けには目的があります。標準形「y = ax² + bx + c」は、一般的な式の形として、与えられた問題に対して素早く計算を行いたいときに便利です。
一方、頂点形式「y = a(x – b)² + c」は、グラフの頂点を求めたり、放物線の形を理解したりする際に有効です。特に、最大値や最小値を求めたいときには、この形式が直感的で計算がしやすくなります。
4. どちらを使うべきか？
「y = ax² + bx + c」を使うべき場合は、与えられた問題が標準形で表現されており、係数a, b, cをもとにそのまま計算したいときです。
「y = a(x – b)² + c」を使うべき場合は、グラフの頂点や最小値・最大値を求めたいとき、または平方完成を通じて問題を解きやすくしたいときです。
まとめ
2次関数の「y = ax² + bx + c」と「y = a(x – b)² + c」の使い分けについて解説しました。標準形は一般的な計算に、頂点形式はグラフや最大値・最小値を求める際に有効です。どちらを使うかは、問題の目的や与えられた情報によって選びましょう。
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